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高等数学工具 PartⅡ

  part Ⅱ主要内容为 不等式常微分方程 (ODE)级数理论多元函数微积分,包括工具定理、计算方法与部分证明,以例题辅助解释。


常用常数

任何正数的任意根次之值都可以用牛顿-辛普森优化算法计算:,特别的对于二次根式;非多项式函数不方便笔算,也可以类似地考虑切线法、不动点法等其他优化算法计算其数值解(要是有计算机,利用已有的库现写一个BFGS算法也不是难事)。不过简便起见,本文提供一些常见的常数以供查阅,略去计算的步骤。

展开/收起 π 的一些极限/级数式

Pi1

Pi2

不等式综述

不等式在分析学中是极其重要的,某种意义上,数学分析和实分析是玩弄不等式的艺术。

多元不等式

多元不等式更“普适”、更“普通”,例如柯西不等式和的区别。

排序不等式

设长度为的有限数列单调递增,即,则 其中中元素的任意乱序排列。

排序不等式的证明(配合Abel变换)

切比雪夫的和不等式

切比雪夫不等式的离散形式是排序不等式的推广。

离散形式:设,则

积分形式:上连续、单调且单调性相同,则

切比雪夫不等式还算直观,其离散形式构造矩阵再利用排序不等式即可得到;积分形式可以通过积分定义得到——直接从离散切比雪夫不等式入手、取极限得黎曼和直接导出其积分形式,也可以利用二重积分证明,构造,将其化为累次积分后证明式子大于等于即可。

积分形式的推广:设且在上可积,上单调且单调性相同,则 推广形式的证明可以参考:切比雪夫不等式(积分型)

基本不等式

  • .

基本不等式可以被认为是下述均值不等式的特例,因为可以被等价地转写为

离散均值不等式

即对于非负数列

当且仅当时等号成立。

如果当时各式极限均存在,则不等式仍成立。

积分均值不等式

从左到右,不等式中的四式分别被称为积分调和平均数 ()、积分几何平均数 ()、积分算术平均数 () 和积分平方平均数 (),因此可以简记为:

对数平均值不等式

时。

Schur不等式

,则,有 当且仅当时等号成立。

伯努利不等式

如果同号且均大于,则有 当且仅当时取等;特别地,当时,有:

三角不等式

三角不等式在度量空间中有重要作用。

当且仅当线性相关时取等;该不等式对任意实数、负数与向量均成立。在内积空间中,其形式为,但是在一般的赋范线性空间上不一定成立,若赋范线性空间一致凸则成立。

琴生不等式

琴生不等式(Jensen's inequality)描述了一个由于凸函数的凸性而导致的不等式,于1906年被丹麦数学家Johan Jensen证明。首先要说明的是,(下) 凸函数本身有多种等价定义,例如在区间上函数有定义时,若:

则称是一个(下)凸函数;该定义推广至多元函数时,要求是凸集,其余条件不变;上述不等式的等号对于严格凸函数只在时才取到。二阶导数存在的(下)凸函数,其二阶导数是大于等于的。

对于区间上的(下)凸函数,有琴生不等式:

如果函数在上是凹的(或称上凸),则琴生不等式不等号反向后成立;当且仅当时取等。

柯西不等式

柯西不等式(Cauchy-Buniakowsky-Schwarz inequality)有多种形式,从离散实数和、积分到测度论、泛函分析,都有他的身影,实在是贯彻了数学的许多分支、方向。

实数空间里,柯西不等式的离散形式与积分形式分别为:

其实是等价的,因为始终可以认为是一个正数的平方——尽管可以取任何数,他完全可以是一个负数。所以,由前者可以推出后者,由后者也可以推出前者,但简洁起见,通常还是后者的形式更为人熟知。

应当注意,在离散形式中,将替换为替换为后,不等式在复数域同样成立;此外,有限数还可以推广到的情况。顺便一提,柯西不等式还在许多领域以各种各样的形式出现:

  • 解析几何:,当向量线性相关取等;

  • 中:,当向量线性相关取等;

  • 概率空间中:,要求随机变量的二阶矩存在、存在,当成立其一时取等;

  • 对于正定矩阵

离散形式的柯西不等式证明法里,除了用数学归纳法完成,最直接、最直观的办法应该是构造二次函数。记 由于有,所以针对二次函数,这就是柯西不等式的离散形式,当且仅当,即当中有一列全为时取等。

连续形式的柯西不等式也可以按如上过程证明,取 剩余的步骤同上。

柯西不等式有非常之多的证明方法,例如还可以利用二重积分、通过构造函数和依据定积分定义等进行证明,这里不再一一陈述。

Young不等式