高等数学工具 PartⅠ

  想了想，还是写Markdown更容易保存；作为考研高数的完整笔记，内容多了以后电子文档增删查改起来容易些。

  part Ⅰ主要内容为 极限 与 一元微积分，涉及较多方面。

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  只要数学家名称与定理名称较为常见、有广为接受的中文翻译，就都用中文表示了；两篇文章都主要限定在上讨论，后文不再强调了。移动端阅读体验可能比较糟糕，尤其是用手机浏览长公式时。

  如有纰漏，可以邮件联系我以订正。为了不影响主干内容的连贯，部分例题被折叠了起来。

注意

• 可证明，对形式的式子，是可以直接对与运用泰勒公式的（只要运用正确，精度足够），自然对所谓的“等价无穷小”也是成立的，这在求极限中非常实用、方便；

• 第一、第二数学归纳法是极其好用的工具，需要熟练掌握并学会灵活运用（实为严格的演绎法）。归纳法不仅能运用在定理证明中，甚至可以配合单调有界定理证明数列极限的存在性。

  例如设，，且当时有，试证极限存在。

  观察到，于是猜想可能单调递增；做归纳假设成立，则有，因此由第一归纳法，数列确为单调递增。下证数列有界，首先有，再次运用归纳法，假设，则，同时容易知道，因此数列有界；最后，根据单调有界定理可知，该数列极限存在。

• 在点处使用泰勒公式的条件：在含点的某个开区间内有阶导数，则可以按展开到阶；

• 求极限时使用洛必达法则的条件：除了要求分子分母满足不定式条件，与的导数在的某个邻域内应均存在，且导数比值的极限为一广义常数时，才有成立；其中可以是无穷大。

• 不要混淆了记号。与均为右极限的记号，定义为：，，当时，有，则称为在点处的右极限。从实数轴上看，右极限是“从数轴的右侧逼近”、“从数轴的正侧逼近”的单侧极限，与之对应的是左极限。

  但是一般而言，导数的右极限存在不等价于右导数存在！！！导数的左极限与左导数的关系同理。

• 数学辅助工具上，个人十分推荐 Mathematica：无论是优化问题、矩阵求逆等数值计算，还是不定积分、微分方程、泰勒 / 洛朗级数等符号计算，Mathematica都能处理自如；此外，微软用Python语言开发的 Z3 也是一个强大的工具。Wolfram|Alpha 是基于Mathematica的，提供了图形化的在线网页界面，可以十分方便地进行常见的运算，让初学者不需要任何代码也可以借助计算机完成一些数学计算。

  对于函数图像，可以通过 Desmos 简单绘制，Desmos同样提供了在线网站，可以便捷得画出简单或复杂函数的图像。如果对一些简单函数如的图像不熟悉，可以通过Desmos直接画出其图像；对一些相对复杂的函数Desmos也能胜任，甚至还能从中看出函数在间断点的极限。

初等数学简记

• 二项式定理：，；

• 次方的差公式：，

  • 特别地，平方差公式的一个有趣应用是对根式差极限的处理：；
  • 当时，有：

• 令上式则得到次方和公式，注意当为正偶数时没有实数根，自然也不能在内分解因式。当为奇数时，有：；

  • 特别地，当且为奇数时，有：；

• 中学数列通项求法大全：高中数学：求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

• 一般元次方程解法：对于一般的元次方程组，可以将其改写为二次型的形式， 其中是三阶实对称矩阵，

  • 如果或不满秩，则方程可以因式分解，秩则可以分解为一个一次式的平方，秩则可以分解为两个一次式的乘积，由此可以解得结果。
  • 如果与均满秩，则计算的特征值（即计算行列式，广义特征值），因式分解即可——这是一定能因式分解的。

• 对数函数的一些性质：

  1. （于是自然有、等）
  3. ，换底公式

• 设，则能被表为的充要条件是是完全平方数且是偶数，其中。如果是奇数，则可以表为的形式。

  具体的步骤是：

  1. 记，将写为

  2. 判断是否是完全平方数，如果不是则不能化简

  3. 判断的奇偶性，

     • 如果是偶数则计算与，有

     • 如果是奇数则对根号内乘以将写为偶数，化为偶数情况

  实际在操作时只需要通过判断原式能否化简，如果能被化简直接设变量接着“凑”就好了，例如化简，设，两边平方得，所以、，容易看出来令即可。

  另外，一定不能被表为，其中。

• 需要确定参数取值范围时，参变分离是个好方法。

• 一些显而易见的概念就不再提及了，例如与的大致图像，本文默认读者对这些内容已经有所了解。

三角函数的性质

三角函数关系助记

青柠色代表按垂直 (两侧) 的关系，浅紫色代表按水平 (按层) 的关系，橙色代表按同侧邻居的关系 (与较特殊)，赤红色代表按过中心点连线两端的关系。如果有兴趣，不妨试着探究，相同的颜色对应的性质间有没有什么联系？是否由一种性质可以导出另一种同色的性质？

• 英文命名关系：在中心垂线的右边的三角函数英文首字母都是“c”；

• 中文命名关系：在中心垂线的左边的三角函数首字都是“正”，右边的首字都是“余”；从上到下，第一层函数名字的次字都是“弦”，第二层次字都是“切”，第三层次字都是“割”；

• 平方数量关系：除去第一层的三角函数间有，同水平上的三角函数平方分别等于同侧邻近的另一三角函数平方，即、；

 展开/收起2道运用这一性质的积分实例

• 求积分： 不过，这个积分结果还有另一个形式，事实上二者表达的是同一个式子，只是利用不同的方法计算得到： 当然，还可用按有理分式来积分，不过如此便繁琐了。

  凡是涉及形式的积分，都可以试试利用的这一性质求解。

• 计算；

  利用三角函数的性质，换元：

• 反函数数量关系 1：第一、三层的两个三角函数，他们反函数的和函数在定义域上值都为，即、，定义域分别为、、；

• 反函数数量关系 2：特殊例子，

  ，

  ；

• 倒数关系：任何过中心点的长线两端的三角函数互为倒数，即、、；

• 导数关系：

  • 左侧第一层的三角函数的导数等于同侧第一层的三角函数、右侧的取相反数，即、；
  • 左侧第二层的三角函数导数等于同侧第三层三角函数平方、右侧的取相反数，即、；
  • 左侧第三层的三角函数导数等于自己与同侧第二层三角函数的乘积、右侧的取相反数，即、；

以上只是个人发现的助记办法，欲了解原理需另加推导。此外，各三角函数的反函数导数按层也有着符号上的关系（右侧的取相反数），分别为、、、、、，前3个在积分中经常被用到，后三个不太常见，因此不再赘述了。

值得注意的是，由于定义域的问题，，而，，其中，图像呈周期“”状；其余三角函数同理，例如、，，是图像呈周期“”状的奇函数。以此类推，有，图像呈周期“”状的偶函数。

再次强调：

三角函数齐次化： 齐次化操作经常是大有用处的，例如试积分，错误的操作是不加讨论地换元：等号右边的式子值域仅为，长度为，即使移动也无法覆盖，而如果分段讨论问题会变得繁琐，并没有必要；简单的做法是利用二倍角公式，有，于是答案变得显而易见。

Desmos图形计算器 - Graphing Calculator

双曲三角函数不在本文讨论范围中，尽管他们也十分重要，但在考研高数中一般没有必要涉及。

三角函数相关公式

个人认为，要深入学习、理解三角函数，就不应该再借助几何直观。三角函数可以用几何图形定义，也可以用级数定义，但按复函数的方式来定义应该才是最广泛适用的，如此也能方便地把三角函数诸多性质推广到复数域。

复指数的定义——欧拉公式（Euler's formula）： 棣莫佛公式（de Moivre's formula）： 在复变函数中，根据欧拉公式可定义 然后可以很自然的导出下述性质了。

角的和差： 二倍角公式在前文齐次化操作中已经提到，是角的和差公式的推论，主要作用是增幂缩角：

有时会需要降幂扩角： 多倍角的情形可以视为角的和差公式的特殊情况，可以取即可，这里不再多做讨论了。

以上公式的初等数学推导可以参考：三角函数公式及推导(详尽解释)

推论：辅助角公式 积化和差： 和差化积： 利用积化和差，可以方便地证明与在时极限不存在。

“万能公式”：在我的理解中，“万能公式”之所以“万能”，是因为它可以用统一的方法将三角函数方程转换为多项式方程。万能公式的一个重要运用就是针对任何三角函数有理分式的积分，都可以将其转换为多项式的有理分式的积分，而有理分式的积分是有通法的——尽管步骤上可能比一些技巧性的解法更繁复一些。

换句话说，任何形如的积分，通过换元总能变为的多项式有理分式的积分，可以将式子化为形式： “万能公式”的推导可以从和的倍角公式入手，有；接着，利用的倍角公式立刻有，再令与相乘即可导出的“万能公式”。

从几何上看或许是最直观的：

二项式与勾股定理

也可以不用倍角的关系表示，这点在积分结果化简的过程中常用到： 例如积分结果时常含有类似这样的部分，他们均是可以进一步化简的，见上文。

由于常见的三角函数是复平面上的解析函数，因此上述等式在复数域恒成立。

双曲三角函数不在本文讨论范围中。

考生必记：三角函数公式汇总+记忆（没有比这更全）

实数理论及实数完备性

不在此讨论了（实在没有精力和时间细致讨论实数的完备性问题了），参考这篇写得不错的知乎文章即可：实数的完备性定理；

或直接参考维基百科：Completeness of the real numbers

数列极限

收敛性

数列极限为常见的定义为，，有。根据海涅定理，这一定义与函数在时极限的定义是相似的；该定义可推广至一般的赋泛空间中，将绝对值改为相应的范数即可；可视为的函数（当取所有可能的值的最小值时）；将小于号改为小于等于号是等价的。

柯西收敛准则：数列收敛的充要条件为，，有。柯西收敛准则在没有借助极限值的情况下刻画了数列收敛性，是实数集完备性的体现。满足柯西收敛准则的序列称为柯西列，在欧氏空间中柯西列与收敛序列是等价的，但在更一般的空间中柯西列就不一定收敛了，事实上这是完备性所保证的，比如在有理数集上定义的柯西列就不一定收敛，所以我们可以说“有理数是不完备的”——这只是其不完备性的一个体现。但是，任何不完备的度量空间都可以完备化为完备的度量空间，所以柯西列在一些“更大”的空间中总是收敛的。将柯西收敛准则中的改为、改为，也是成立的。

此外，众所周知数列极限存在等价于任意子列的极限存在，所以针对不好直接处理的数列，可以先证明其极限存在，再任意找到一个方便处理的子列，计算子列极限，这时子列极限等于原数列的极限。

根据定义还可以推导出对于数列的两个子列，当两个子列的并等于原数列时，原数列的极限存在的充要条件是两子列极限存在且相等。这一思想最简单的应用是分别取奇偶子列，然后证明奇偶子列的极限存在且相等。例如计算极限，记，可以先证明是非负且单调递减趋于的，然后取的偶子列，讨论偶子列的极限。由Wallis公式，有 对于奇子列的极限，利用的单调性放缩（以应用夹逼准则）： 综上所述，的奇偶子列极限均存在且为，所以。这里的子列极限还有一种计算方法，利用的单调性有，从而有，此时无论是奇数还是偶数，与在写为双阶乘分式的乘积后总是能消掉双阶乘的，随后再使用夹逼定理即可。

数列极限的计算

对等差数列，有；

↑ 有趣的是，当、时，在数值上恰有

对等比数列，有；

；

；

一定是一个次的次多项式。这类数列和的求法，可参考：1²+2²+…+n²求和公式的推导有哪些方法?

级数收敛性

例如计算极限、、，可以直接判断他们的级数和收敛，于是极限为——这是级数收敛的必要条件。

印象中用这一方法来证明极限为，主要是在学习实变函数论、证明某测度为的时候。

线性递推式 (通项公式)

对于线性递推定义的数列，欲求其通项，通用的方法至少有两种，一是利用差分方程，二是利用可相似对角化矩阵的快速幂方法。

关于差分方程方法，一些一阶非齐次常系数线性差分方程的解在 高等数学工具 PartⅡ 中有给出，位于常微分方程一节；对于一些二阶差分方程的解，可以参考文章差分方程基本理论。由于如果读者非常熟悉差分方程理论，那么线性递推式通项求解是很显然的问题，因此这里主要以一个例子给出矩阵快速幂的方法，对于一些没有接触过差分方程的读者而言，只需要有一定的线性代数基础即可学会这种方法——不过作者认为，用差分方程的方法求解才是最泛用的，也是最接近本质的。

回到正题，如果数列是按与前几项的线性关系式迭代定义的，例如，首先可以考虑将看作整体构造新数列，这是初等的基本方法不再赘述；如行不通，还可以考虑利用矩阵表出这种线性关系，利用对角化快速计算通项与和函数的表达式，即快速幂方法。普通的递归操作时间复杂度为、循环操作时间复杂度为，而快速幂方法求解数列递推定义式第项的时间复杂度可以做到。这一方法可被视为初等的基本方法之推广，利用可对角化矩阵的性质求解阶线性递推数列的通项。

典型如斐波那契数列：记斐波那契第项为， 根据定义，可以用矩阵等价的表出斐波那契数列： 由于是实对称阵必可被相似对角化，计算出其有特征值与，分别的特征向量为与，因此 于是 可以得出；

能够看出，可以把视作两个等比数列的差，自然其和函数也能计算了；基于此，可以计算，只需要将通项代如极限式中即可，不妨一试，最终答案应该为。实际上记，有，似乎两边同时取极限就能得到结果，但如此繁琐地解出斐波那契数列通项是为了证明极限的存在性：并不单调，无法直接应用单调有界定理。

斐波那契数列的其他简单性质，可以参考：斐波那契数列相关问题精讲

幂级数 (累和数列极限)

一定条件下，通过对逐项求积与逐项求导将级数化成一般函数的幂级数形式（如果有必要），进而转化为相应的有限次运算的初等函数求解。这里以两个简单的例子作为示范，计算与：

• 对，由于泰勒级数的任何一项次数都应（否则成洛朗级数了），所以想到取（而不是），则恰为极限式，又在范围内有 所以

• 对，观察到若取则极限式形式为，显然应当逐项求积化为形式，记， 因此

黎曼积分定义 (累和数列极限)

按黎曼积分的定义，若在上黎曼可积，则有 所以凡是式子可以化作形如的极限的问题，都可以尝试用黎曼积分的定义解决。再简单地说，式子能提出并且剩下的式子是关于函数的连和，那么就可以考虑利用黎曼积分的定义。

尽管该方法实质是处理累和数列极限的，但一些累乘式可以通过取对数转化为累和式，进而用该方法求解！例如例题2。

如果是第一次阅读到这里，下面的折叠内容建议展开，因为这除了说明如何使用黎曼积分的定义解决数列极限（不只能解决累和式的极限）以外，第二题的法一还展现了另一种独特的技巧。

展开/收起4道用黎曼积分定义解决累和式极限问题

下给出题目。

• 求；

  十分简单但经典的题目，对式子提出即可解决，

• 求；

  • 法一，利用Stirling公式：

    根据Stirling公式， 可以证明，对形式的式子，是可以直接对与运用泰勒公式的，同理在此处可以用Stirling公式近似。

  • 法二，转换为定积分问题处理：根号下的式子显然是一个累乘分式，欲转化为黎曼积分，首先要将其变为累和式，所以对原式取对数，记， 于是，

• 求；

  为将原式中的转换为形式，首先从根号下式子抽出： 对于剩下的部分，根据黎曼积分的定义，很自然地想到无论是取还是都都不影响积分的值，因此与这点微小的差异在积分号下也就被“抹平”了，所以应当有 上式同时取极限，得到 因此，根据夹逼准则，有 这可以说是放缩与夹逼准则的运用，但我认为，从实质上更确切地讲，这应该是黎曼积分的性质：黎曼积分的定义式中，用以求和的每一段小区间上的值（其实是这一区间上定义的简单函数的值），可以是函数在这一小区间上的左边界点 (体现在)，也可以是右边界点 (体现在)，只要函数可积，最终的值都是一样的。不过，说这种解法是通过黎曼积分定义配合夹逼准则求解的，也没有问题。

• 求；

  令，取对数得，于是 因此。

同样地，按累次积分的黎曼和定义，也可以处理累次积分对应的级数和。例如， 以上式为例，一个变量一个变量地逐个分析与处理：

1. 不妨先考虑，由于函数形式表示的是小区间的右端点值，每个小区间长度是，所以用以近似函数在小区间上定积分值的矩形面积是，而这样的小区间与相应的矩形有个（因为变量的累加号上标为），总长度为，所以这一级数表示的是从（因为变量的求和号下标，即起始值为，除得，的极限为）起到上的定积分。

2. 再考虑，按同样的步骤分析，函数形式表示的是小区间的右端点值，每个小区间长度是，而这样的小区间有个，所以总长度为，因此这一级数表示的是从起到上的定积分。

3. 由于的每个小区间长度与的每个小区间长度的乘积恰好为，所以这个极限不需要再做进一步处理。如果将原式改为，那么就应该在前两步分析得到的定积分结果基础上再乘，因为极限可以被拆分为

4. 综上所述，该极限为，这是一个累次积分。

所以，原式中的其实并不是最关键的重点（再乘上任意的非零的实数也不影响上述分析的过程），重要的是先观察函数自变量的形式，根据他们来对极限进行理解与分析。了解了这一点，这类问题就没什么困难了。

最后，在以上分析中也可以将视为上的而不是上的——从取极限的结果上看，这只是重积分 / 累次积分换元法的使用。

夹逼准则 (累和数列极限)

如果别的方法不合适，可以试试放缩配合夹逼准则求极限。这个方法的缺点是要求“未卜先知”，需要通过观察想到或猜算极限式可能的值与可能的放缩技巧，但如果有合适的放缩，通常是能解题的。

展开/收起2道用夹逼准则解决数列极限的问题

• 求与；

  对于这两个极限，分别有

  与

  注意到，而多项式分式的极限（）只与分子分母最高次项系数有关，从这一点可以判断出两个原式的极限应该是相等的。对上述式子分别取极限，得到

  故根据夹逼准则，最终有

• 求；

  • 法一，利用调和级数的性质：

    根据调和级数的前项的和函数公式，

    其中，于是

  • 法二，利用夹逼准则：众所周知有，因此猜想该极限也可能为，故进行放缩

    左右式的极限均为，所以

夹逼准则进阶

一般来说，如果函数在分离出小积分测度（通常转换为上的积分，即取出）后，若剩下的部分能写为整体的函数，则可以等价为定积分求解，将用替代、换为；若不能，则考虑放缩与夹逼准则；有时二者会同时使用。典型如以下二式：

• ；
• .

一式不能视为整体的函数，二式可以被视为的函数，所以一式用放缩与夹逼定理解决，二式可以直接转换为定积分解决。

但是又如何找到正确的放缩呢？这并不是任何情况下都没有章法可寻的，首先将极限和式化为一个统一的形式，即写为，然后找到“对式子影响最小的因子”。

这样做的原因是黎曼积分定义求解数列和式极限是有通式的，即只要提出来（或其他分割）后式子整体是的函数，就可以将他转写为相对容易计算的积分——对于不能直接化为积分的式子，我们就想到通过放缩，将式子分别放大与缩小后再转为积分，如果积分的值相同，那么就可以用夹逼准则求出此极限。

进一步地，如何“对式子影响最小的因子”（下简称“最小因子”）呢？举几个例子，对于，他的“因子”是，将视为，故“最小因子”是；对于，他的“因子”是，故“最小因子”是；对于，他的“因子”是，将视为，因此“最小因子”是；对于，他的“因子”是，将视为，因此“最小因子”是。

• 如果“最小因子”是，那么优先考虑通过去掉或增加“”以放缩，转极限为积分；
• 如果“最小因子”是（或等），那么优先考虑令（或等）为或以放缩，直接求解极限。

这个方法可能不是万能的，但至少他提供了一种如何放缩的思路。

通常而言，除了过分简单的题目外，放缩都会搭配黎曼积分定义使用，他们不是毫不相干的，即：虽然有的级数不能直接转化为黎曼积分，但可以通过放缩间接地转化为积分。

O' Stolz定理

处理数列极限的强有力工具，某种意义上是洛必达法则的离散形式（他们的共同之处在于，当满足一定条件后，不定分式的极限等于他们分子分母各自导数/变化量的比式的极限）；该定理可以通过Toeplitz定理简洁证明。在我看来，O' Stolz定理值得单独列为一节。

O' Stolz定理能够处理的类型为 "" 与 "" 的不定式极限，

O' Stolz定理   对于型的数列极限，当满足下列两者中任意一点时：

• ：严格单调递增且；

或，

• ：严格单调递减且、；

在满足以上两点任意一个的基础上，如果还满足，其中为有限数或，则有

尤其对形式的数列极限，O' Stolz定理是一个大杀器。

在此给出一道例题以供参考：试求极限；

• 解法一：利用黎曼积分定义

• 解法二：利用 O' Stolz定理

Toeplitz定理 (累和数列极限)

Toeplitz定理   设、且、，若有，则。注意Toeplitz定理定理可以灵活运用，有时使用该定理可能有意想不到的效果。该定理可推广，条件放宽至仍成立。

海涅定理与中值定理

一般来说，函数可明显被表示为两个同样的函数对于不同自变量取值的差，就可以利用中值定理，往往能简洁地解决问题。

海涅定理（归结原则）   设在上有定义，则存在的充要条件是：且，都有极限存在，且值唯一。

递推数列极限存在性

有些时候，可以通过对式子直接取极限解得极限值，尤其是对于递推式，但首先要解决的是极限的存在性问题——如果极限不存在，直接对等式两边取极限就是错误的操作。这里列出通常证明极限存在性的方法。

从单调性出发

• 如果是单调递增函数且，则单调递增：因为      ，；
• 如果是单调递增函数且，则单调递减，类比上文推导；
• 如果单调递减，通常的单调性没有明显规律。

函数局部增时: 单调有界定理

由上文的结论可知，当满足的函数在数列上下界内单调递增时，数列也一定单调，因此可以用单调有界原理说明极限存在性：如果数列保持单调且有上下界，则极限存在且介于上下界之间（可能恰取到上界或下界）。

这是最简单的证明数列极限存在性的方法，注意：只需要从某一项开始数列单调并有界即可。

函数局部减时: 上下极限

这种方法更为“高级”，应用范围极广，（在实数域内）比后文的压缩映射原理更泛用。

由于可导的初等函数一定在点的某个邻域内单调，所以仅依靠单调有界定理 (适用于单调增) 和该方法 (适用于单调减，但也可以用于单调增)，几乎可以解决所有的递归数列极限存在性问题。但由于该方法过于强大，很少有参考答案会用这种方法，所以或许解题时优先考虑压缩映射原理更合适？

该方法首先需要说明数列有界，因为若有界则数列的上下极限必然存在且有限；记上极限为、下极限为，容易知道如果上极限为，则存在某一子列其极限为，一定也是某一子列的极限，反之亦然，即也一定是某一子列的极限。容易知道，如果函数单调递减，则一定有 最后解出、即可，只要最终有且值是唯一的，则极限存在，而且极限等于该值。

压缩映射原理 (Banach不动点原理)

压缩映射：称是一个压缩映射，如果， ；

压缩映射原理   设是一个完备的度量空间，是到自身的压缩映射，则在上存在唯一的不动点。

压缩映射原理是完备性的一种体现，常微分方程初值问题中的Lipschitz常数正是这里的。由于也是完备的，因此在实数域上压缩映射原理也成立，这帮助我们可以靠压缩映射原理证明数列极限的存在性。

具体到实函数 / 实数列，对，若，令；

• ， 则收敛于唯一的一点且；

• 当可微时， ， 则收敛且收敛点是上唯一的不动点（可以联系微分中值定理）.

鉴于通常的高数课和数分课并不讲授压缩映射原理（我也是在泛函分析课程种才学到），在需要过程的题目中可以仿照该定理的证明过程间接运用它，而最好不要直接“甩”出定理。

例如设、，试求；

解：算出前几项，或者计算的导数，可以看出该数列并不单调，不宜使用单调有界定理。

现在对递推式变形得，显然是压缩映射（当，），即是压缩映射，根据压缩映射原理，是收敛的，故直接两端取极限即可。但为了展示完整的分析过程，现给出两种不同形式的解法。

• 完全仿照泛函分析中度量空间里压缩映射原理证明的过程，容易知道，

  注意到，

  根据柯西收敛准则，是收敛的。于是可以“大大方方”地等式两边取取极限，因为数列极限存在且唯一（当然唯一了，关键是存在性！）。

• 也可以先假设极限存在，解出四次方程的正根，不妨设为，利用极限的性质有，最后依极限的定义，仿照上式从入手证明收敛到即可，不再赘述。这样做步骤似乎更简单一点，不过通常的压缩映射原理证明过程是和上一种方法类似的。

• 如果在范围内恒有，则根据微分中值定理，有或，证明更为简洁。这种方法最为简洁、固定，不需要像第一种、第二种方法构造放缩，如果条件合适，可以优先考虑。

函数极限

最基本的多项式分式极限，这里给出两个简单的例子：

两无穷大量相加减的极限计算，一般会通过通分、提取无穷大因子或中值定理等方法，将其转换为分式极限，这样会便于处理。

极限性质与洛必达法则

函数极限的性质：

如果读者对洛必达法则不熟悉，可以参考：《数学分析》38洛必达法则的证明；简而言之，洛必达法则是用于计算当时的极限值的一种方法，其中可以是无穷大。对于以下两种未定式：

• ，即当时，；
• ，即当时，；

如果有与的导数在的某个邻域内应均存在，且导数比值的极限为一广义常数（），那么由洛必达法则就保证了成立。应当注意，洛必达法则只是极限的充分条件，而不是必要条件。

有些极限是泰勒公式无法解决的，这就是洛必达法则大显身手的时候了，例如，这类极限就是泰勒公式无法处理的，但利用洛必达法则可以轻松得到的结果。当然，即使是泰勒公式能够处理的问题，用洛必达法则也可能是更快捷的。

泰勒公式

泰勒公式 / 泰勒级数 (Taylor series)，麦克劳林级数 (Maclaurin series)，不愧是被誉为数学分析一元微分学皇冠上的明珠。泰勒公式的存在使得许多极限的计算都变得十分容易，这里在给出常见函数的泰勒公式时一并给出其泰勒级数与相应的收敛域——这本应该在下一篇文章的幂级数部分再给出。

诸如的麦克劳林级数甚至各洛朗级数在实函数的极限计算中使用频率较低，如有需要可参阅附在后文的链接，正文中不作涉及；没给出通项公式的泰勒级数均是通项涉及到没有初等表达式的超越函数；这里至多考虑实数域中的泰勒级数。

一般情况下泰勒公式只能“从外往里”用，“从里到外”是没有依据的。例如求极限，如果“从里到外”则是，得到了错误的答案；正确的做法是写为幂指函数形式再做后续计算，结果应为。

泰勒公式的一般形式是：若在点处存在直到阶的导数，则，这里取皮亚诺余项，皮亚诺余项在极限的计算中经常用到；如果取拉格朗日余项则定理条件需要加强至在含点的某个开区间内存在直到阶的导数。对于更多的余项，如积分余项、柯西余项等，读者可以参考更严谨的数学分析教材，这里不作涉及了。

展开/收起1个泰勒多项式与函数关系辨析的例子

以一个例题来说明泰勒多项式和函数性质的关系。

• 设且，判断以下说法是否正确：

  4. 在内为上凹函数

  下逐个分析四个命题：

  • 第一个说法是正确的，但原因并不是，因为题干没有明确指明在处是几阶可导的，所以我们不能把当作是“有效”的泰勒公式。对于这种较为抽象的函数，常常需要用到最基本的方法，这里尝试用定义求导： 所以确有，进一步可推得在的某个邻域内连续。

  • 第二个说法是错误的，因为我们没有任何条件能够保证在上可导。可以举一反例，令 取，其中确为，但仅在处连续，自然不可能在的某个邻域上均可导——甚至都不是连续的。

  • 第三个说法也是错误的，实际上我们连是否在处二阶可导都不能确定（因为求不出具体形式，按定义无法计算二阶导数），可以参考反例中所构造的函数。

  • 第四个说法还是错误的，同样可以参考反例中所构造的函数。

  综上所述，除非函数足够光滑，我们不能随意认为如果，对就有，更不能认为就有。一般来说，这需要泰勒级数收敛到原函数且满足逐项求导的条件才成立，至少是在幂级数的收敛区间上才成立。

此外，凹凸函数经常联系到一阶的带拉格朗日余项的泰勒公式，因为这时若，则泰勒公式的第三项是一定大于零或小于零的（具体取决于函数是凹的还是凸的），这是一个很好的性质。

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常见基本函数 泰勒公式表

  计算的泰勒公式可以考虑对其导数展开；

  由此可以得到

注意到，故

推论：

  特别地，，注意对数前的负号；

  注意利用好 的性质，例如不便直接展开，

  但的泰勒公式却十分简洁

推论：在内利用换底公式，即   再利用上式，有

  注意直接用的泰勒公式是解不出来的，虽然形式相近；

  正确做法应该是先处理幂指函数，再利用的泰勒公式： 推论 1：

推论 2：

  的泰勒公式求法至少有以下两种方法，其他函数如依此类推：

• 直接计算在处各阶导数的值，注意到是偶函数，因此奇数阶泰勒多项式系数值为 ，故只需计算偶数阶导数值。有，，，，