想了想，还是写Markdown更容易保存；作为考研高数的完整笔记，内容多了以后电子文档增删查改起来容易些。
part Ⅰ主要内容为 极限 与 一元微积分，涉及较多方面。
只要数学家名称与定理名称较为常见、有广为接受的中文翻译，就都用中文表示了；两篇文章都主要限定在
如有纰漏，可以邮件联系我以订正。为了不影响主干内容的连贯，部分例题被折叠了起来。
注意
可证明，对
形式的式子，是可以直接对 与 运用泰勒公式的（只要运用正确，精度足够），自然对所谓的“等价无穷小”也是成立的，这在求极限中非常实用、方便； 第一、第二数学归纳法是极其好用的工具，需要熟练掌握并学会灵活运用（实为严格的演绎法）。归纳法不仅能运用在定理证明中，甚至可以配合单调有界定理证明数列极限的存在性。
例如设
， ，且当 时有 ，试证极限 存在。 观察到
，于是猜想 可能单调递增；做归纳假设 成立，则有 ，因此由第一归纳法，数列 确为单调递增。下证数列有界，首先有 ，再次运用归纳法，假设 ，则 ，同时容易知道 ，因此数列有界；最后，根据单调有界定理可知，该数列极限存在。 在点
处使用泰勒公式的条件： 在含点 的某个开区间 内有 阶导数，则 可以按 展开到 阶； 求极限
时使用洛必达法则的条件：除了要求分子分母满足不定式条件， 与 的导数在 的某个邻域内应均存在，且导数比值的极限为一广义常数 时，才有 成立；其中 可以是无穷大。 不要混淆了记号。
与 均为右极限的记号，定义为： ， ， 当 时，有 ，则称 为 在点 处的右极限。从实数轴上看，右极限是“从数轴的右侧逼近”、“从数轴的正侧逼近”的单侧极限，与之对应的是左极限。 但是一般而言，导数的右极限
存在不等价于右导数 存在！！！导数的左极限与左导数的关系同理。 数学辅助工具上，个人十分推荐 Mathematica：无论是优化问题、矩阵求逆等数值计算，还是不定积分、微分方程、泰勒 / 洛朗级数等符号计算，Mathematica都能处理自如；此外，微软用Python语言开发的 Z3 也是一个强大的工具。Wolfram|Alpha 是基于Mathematica的，提供了图形化的在线网页界面，可以十分方便地进行常见的运算，让初学者不需要任何代码也可以借助计算机完成一些数学计算。
对于函数图像，可以通过 Desmos 简单绘制，Desmos同样提供了在线网站，可以便捷得画出简单或复杂函数的图像。如果对一些简单函数如
的图像不熟悉，可以通过Desmos直接画出其图像；对一些相对复杂的函数Desmos也能胜任，甚至还能从中看出函数在间断点的极限。
初等数学简记
二项式定理：
， ； 次方的差公式： ， - 特别地，平方差公式的一个有趣应用是对根式差极限的处理：
； - 当
时，有：
- 特别地，平方差公式的一个有趣应用是对根式差极限的处理：
令上式
则得到 次方和公式，注意当 为正偶数时 没有实数根，自然也不能在 内分解因式。当 为奇数时，有： ； - 特别地，当
且 为奇数时，有： ；
- 特别地，当
中学数列通项求法大全：高中数学：求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
一般
元 次方程解法：对于一般的 元 次方程组，可以将其改写为二次型的形式， 其中 是三阶实对称矩阵， - 如果
或 不满秩，则方程可以因式分解，秩 则可以分解为一个一次式的平方，秩 则可以分解为两个一次式的乘积，由此可以解得结果。 - 如果
与 均满秩，则计算 的特征值 （即计算行列式 ，广义特征值），因式分解 即可——这是一定能因式分解的。
- 如果
对数函数的一些性质：
（于是自然有 、 等） ，换底公式
设
，则 能被表为 的充要条件是 是完全平方数且 是偶数，其中 。如果 是奇数，则可以表为 的形式。 具体的步骤是：
记
，将 写为 判断
是否是完全平方数，如果不是则不能化简 判断
的奇偶性， 如果
是偶数则计算 与 ，有 如果
是奇数则对根号内乘 以将 写为偶数 ，化为偶数情况
实际在操作时只需要通过
判断原式能否化简，如果能被化简直接设变量接着“凑”就好了，例如化简 ，设 ，两边平方得 ，所以 、 ，容易看出来令 即可。 另外，
一定不能被表为 ，其中 。 需要确定参数取值范围时，参变分离是个好方法。
一些显而易见的概念就不再提及了，例如
与 的大致图像，本文默认读者对这些内容已经有所了解。
三角函数的性质
三角函数关系助记
青柠色代表按垂直 (两侧)
的关系，浅紫色代表按水平
(按层)
的关系，橙色代表按同侧邻居的关系
(
英文命名关系：在中心垂线的右边的三角函数英文首字母都是“c”；
中文命名关系：在中心垂线的左边的三角函数首字都是“正”，右边的首字都是“余”；从上到下，第一层函数名字的次字都是“弦”，第二层次字都是“切”，第三层次字都是“割”；
平方数量关系：除去第一层的三角函数间有
，同水平上的三角函数平方分别等于同侧邻近的另一三角函数平方 ，即 、 ；
展开/收起2道运用这一性质的积分实例
求积分
： 不过，这个积分结果还有另一个形式，事实上二者表达的是同一个式子，只是利用不同的方法计算得到： 当然，还可用按有理分式来积分，不过如此便繁琐了。 凡是涉及
形式的积分，都可以试试利用 的这一性质求解。 计算
； 利用三角函数的性质，换元
：
反函数数量关系 1：第一、三层的两个三角函数，他们反函数的和函数在定义域上值都为
，即 、 ，定义域分别为 、 、 ； 反函数数量关系 2：特殊例子，
， ； 倒数关系：任何过中心点的长线两端的三角函数互为倒数，即
、 、 ； 导数关系：
- 左侧第一层的三角函数的导数等于同侧第一层的三角函数、右侧的取相反数，即
、 ； - 左侧第二层的三角函数导数等于同侧第三层三角函数平方、右侧的取相反数，即
、 ； - 左侧第三层的三角函数导数等于自己与同侧第二层三角函数的乘积、右侧的取相反数，即
、 ；
- 左侧第一层的三角函数的导数等于同侧第一层的三角函数、右侧的取相反数，即
以上只是个人发现的助记办法，欲了解原理需另加推导。此外，各三角函数的反函数导数按层也有着符号上的关系（右侧的取相反数），分别为
值得注意的是，由于定义域的问题，
再次强调：